Упр.44 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 400, — арифметическую.

Пусть цифры искомого числа — $$a,\ b,\ c.$$ Тогда само число равно $$100a+10b+c.$$

По условию цифры числа, меньшего данного на $$400,$$ образуют арифметическую прогрессию. Значит, для числа $$100a+10b+c-400$$ его цифры равны $$a-4,\ b,\ c,$$ и выполняется

$$2b=(a-4)+c,$$

то есть

$$2b=a+c-4.$$

Так как цифры исходного числа образуют геометрическую прогрессию, имеем

$$b^2=ac.$$

Из равенства $$2b=a+c-4$$ следует, что $$a+c$$ — чётное число. Кроме того, $$a-4$$ должно быть цифрой, значит $$a\ge 4.$$

Переберём возможные значения суммы $$a+c.$$ Так как $$a$$ и $$c$$ — цифры, а $$b$$ тоже цифра, получаем:

$$2b=a+c-4,\qquad 0\le b\le 9.$$

Возможны три случая:

1. $$a+c=6,$$ тогда $$b=1.$$ Из $$b^2=ac$$ получаем $$ac=1,$$ значит $$a=1,\ c=1,$$ но это противоречит $$a+c=6.$$

2. $$a+c=8,$$ тогда $$b=2.$$ Из $$b^2=ac$$ получаем $$ac=4.$$ Решая систему

   $$\begin{cases} a+c=8,\\ ac=4, \end{cases}$$

   получаем $$a=4,\ c=4.$$ Тогда число равно $$424,$$ но после вычитания $$400$$ получаем $$24,$$ цифры $$0,2,4$$ не образуют арифметическую прогрессию.

3. $$a+c=10,$$ тогда $$b=3.$$ Из $$b^2=ac$$ получаем $$ac=9.$$ Решаем систему

   $$\begin{cases} a+c=10,\\ ac=9. \end{cases}$$

   Тогда $$a$$ и $$c$$ — корни уравнения

   $$x^2-10x+9=0,$$

   откуда $$x=1$$ или $$x=9.$$ Так как $$a\ge 4,$$ то $$a=9,\ c=1.$$

Искомое число:

$$931.$$

Ответ: $$931.$$