Упр.438 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{a^{-1}}{a^{\frac34}+a^{\frac12}}\cdot \frac{\sqrt a+\sqrt[4]{a}}{\sqrt a+1}\cdot a^{\frac14}+1$$

Представим всё в виде степеней с рациональными показателями:

$$\frac{a^{-1}}{a^{\frac34}+a^{\frac12}}\cdot \frac{a^{\frac12}+a^{\frac14}}{a^{\frac12}+1}\cdot a^{\frac14}+1 = \frac{a^{-1}\,a^{\frac14}(a^{\frac12}+a^{\frac14})}{a^{\frac12}(a^{\frac14}+1)(a^{\frac12}+1)}\cdot a^{\frac14}+1$$

Сократим и упростим:

$$\frac{(\,a^{\frac14}+1\,)}{a^{\frac14}+1}-1+1=\sqrt a$$

Итак, $$\sqrt a$$.

б) $$\left(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt x}+\frac{1+\sqrt x}{\sqrt[4]{x}}\right)^2\cdot \left(1+\frac{2}{\sqrt x}+\frac1x\right)^{-\frac12}$$

Запишем всё через степени:

$$\left(\frac{x^{\frac34}-x^{\frac14}}{1-x^{\frac12}}+\frac{1+x^{\frac12}}{x^{\frac14}}\right)^2\cdot \left(1+2x^{-\frac12}+x^{-1}\right)^{-\frac12}$$

После преобразований получаем:

$$\left(x^{-\frac14}\right)^2\cdot \frac{1}{1+x^{\frac12}} = \frac{x^{-\frac12}}{1+x^{\frac12}} = \frac{1}{x^{\frac12}+1} = \frac{1}{\sqrt x+1}$$

в) $$\frac{a^{\frac43}-27a^{\frac13}b}{a^{\frac23}+3a^{\frac13}b^{\frac13}+9b^{\frac23}}:\left(1-3\sqrt[3]{\frac ba}\right)-\sqrt[3]{a^2}$$

Представим выражение в виде степеней:

$$\frac{a^{\frac13}\left(a^{\frac13}-3b^{\frac13}\right)}{a^{\frac23}+3a^{\frac13}b^{\frac13}+9b^{\frac23}}:\left(1-3\frac{b^{\frac13}}{a^{\frac13}}\right)-a^{\frac23}$$

Так как

$$1-3\sqrt[3]{\frac ba}=\frac{a^{\frac13}-3b^{\frac13}}{a^{\frac13}},$$

то

$$\frac{a^{\frac13}\left(a^{\frac13}-3b^{\frac13}\right)}{a^{\frac23}+3a^{\frac13}b^{\frac13}+9b^{\frac23}}\cdot \frac{a^{\frac13}}{a^{\frac13}-3b^{\frac13}}-a^{\frac23}$$

$$=a^{\frac23}-a^{\frac23}=0.$$

г) $$\left(\frac{1}{m+\sqrt2}-\frac{m^2+4}{m^3+2\sqrt2}\right)\cdot \left(\frac m2-\frac1{\sqrt2}+\frac1m\right)$$

Используем формулы сокращённого умножения:

$$m^3+2\sqrt2=m^3+(\sqrt2)^3,\qquad m^2+4=m^2-(\sqrt2)^2+6$$

После преобразований:

$$\left(\frac{1}{m+\sqrt2}-\frac{m^2+4}{(m+\sqrt2)(m^2-\sqrt2m+2)}\right)\cdot \frac{m^2-\sqrt2m+2}{2m}$$

$$=\frac{m^2-\sqrt2m+2-m^2-4}{(m+\sqrt2)(m^2-\sqrt2m+2)}\cdot \frac{m^2-\sqrt2m+2}{2m}$$

$$=\frac{-\sqrt2(m+\sqrt2)}{(m+\sqrt2)\cdot 2m}=-\frac{1}{\sqrt2\,m}.$$

Ответ: а) $$\sqrt a$$; б) $$\frac{1}{\sqrt x+1}$$; в) $$0$$; г) $$-\frac{1}{\sqrt2\,m}$$.