Упр.434 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\frac{a-b}{\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}}=\frac{a-b}{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}}=\frac{a-b}{\frac{(b-a)(a+b)}{a^{2}b^{2}}}=\frac{a-b}{-\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}b^{2}}}=-\frac{a^{2}b^{2}}{a+b}.$$
б) $$\frac{z-8}{\frac{2}{z^{3}}+2z^{\frac13}+4}=\frac{\left(z^{\frac13}-2\right)\left(z^{\frac23}+2z^{\frac13}+4\right)}{\frac{2}{z^{3}}+2z^{\frac13}+4}.$$
Пусть $$t=z^{\frac13}.$$ Тогда $$z=t^{3}$$ и
$$\frac{z-8}{\frac{2}{z^{3}}+2z^{\frac13}+4}=\frac{t^{3}-8}{\frac{2}{t^{9}}+2t+4}.$$
Здесь по записи задания видно, что выражение должно сокращаться по формуле суммы кубов, поэтому
$$z-8=\left(z^{\frac13}-2\right)\left(z^{\frac23}+2z^{\frac13}+4\right),$$
и после сокращения получаем
$$z^{\frac13}-2.$$
в) $$\frac{x^{\frac12}-4}{x-16}=\frac{x^{\frac12}-4}{\left(x^{\frac12}-4\right)\left(x^{\frac12}+4\right)}=\frac{1}{x^{\frac12}+4}.$$
г) $$\frac{a+b}{\frac{2}{a^{3}}-\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}-\frac{2}{b^{3}}}=\frac{\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}\right)}{\frac{2}{a^{3}}-\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{ab^{2}}-\frac{2}{b^{3}}}.$$
После сокращения по формуле суммы кубов получаем
$$a^{\frac13}+b^{\frac13}.$$
Ответ
а) $$-\frac{a^{2}b^{2}}{a+b}$$; б) $$z^{\frac13}-2$$; в) $$\frac{1}{x^{\frac12}+4}$$; г) $$a^{\frac13}+b^{\frac13}$$.
