Упр.43 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна $$-40$$, а сумма их квадратов равна $$3280$$. Найдите эти числа.

Пусть четыре числа геометрической прогрессии равны $$b,\;bq,\;bq^2,\;bq^3.$$ Тогда

$$b(1+q+q^2+q^3)=-40,$$

$$b^2(1+q^2+q^4+q^6)=3280.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$\frac{b^2(1+q^2+q^4+q^6)}{b(1+q+q^2+q^3)}=-82.$$

Сократим и преобразуем:

$$\frac{b(1+q^2)(1+q^4)}{(1+q)(1+q^2)}=-82,$$

$$\frac{b(q^4+1)}{q+1}=-82.$$

Теперь разделим второе исходное равенство на первое ещё раз в удобной форме:

$$\frac{b(q^4+1)}{b(1+q)(1+q)(1+q^2)}=\frac{41}{20}.$$

После преобразований получаем:

$$20(q^4+1)=41(1+2q+q^2)(1+q^2),$$

$$21q^4+82q^3+82q^2+82q+21=0.$$

Разделим на $$q^2$$:

$$21\left(q^2+\frac{1}{q^2}\right)+82\left(q+\frac{1}{q}\right)+82=0.$$

Обозначим $$y=q+\frac{1}{q}$$. Тогда

$$q^2+\frac{1}{q^2}=y^2-2,$$

и получаем уравнение

$$21y^2+82y+40=0.$$

Найдём корни:

$$D=82^2-4\cdot 21\cdot 40=3364,$$

$$y_{1,2}=\frac{-82\pm 58}{42}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac{10}{3},\qquad y_2=-\frac{4}{7}.$$

Рассмотрим первое значение:

$$q+\frac{1}{q}=-\frac{10}{3}.$$

Тогда

$$3q^2+10q+3=0,$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$q_1=-3,\qquad q_2=-\frac{1}{3}.$$

Второе значение не подходит, так как

$$q+\frac{1}{q}=-\frac{4}{7} \Rightarrow 7q^2+4q+7=0,$$

а

$$D=4^2-4\cdot 7\cdot 7<0.$$

Значит, $$q=-3$$. Подставим в первое уравнение:

$$b(1-3+9-27)=-40,$$

$$b\cdot (-20)=-40,$$

$$b=2.$$

Тогда искомые числа:

$$2,\;-6,\;18,\;-54.$$

Ответ: $$2,\;-6,\;18,\;-54.$$