Упр.427 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Обозначим новые переменные там, где это удобно.

а)

$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\ x-y=16. \end{cases}$$
Положим $$a=\sqrt{x},\; b=\sqrt{y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} a+b=8,\\ a^2-b^2=16. \end{cases}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то
$$(a-b)\cdot 8=16 \Rightarrow a-b=2.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a+b=8,\\ a-b=2, \end{cases}$$
откуда
$$a=5,\quad b=3.$$
Следовательно,
$$x=25,\quad y=9.$$

б)

$$\begin{cases} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,\\ xy=216. \end{cases}$$
Введём новые неизвестные:
$$z=\sqrt[3]{x},\quad t=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда
$$\begin{cases} z+t=5,\\ z^3t^3=216. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем
$$(zt)^3=216 \Rightarrow zt=6.$$
Имеем систему
$$\begin{cases} z+t=5,\\ zt=6. \end{cases}$$
Тогда числа $$z$$ и $$t$$ — корни уравнения
$$u^2-5u+6=0,$$
откуда
$$u=2 \text{ или } u=3.$$
Значит,
$$(z,t)=(2,3)\ \text{или}\ (3,2).$$
Возвращаясь к старым неизвестным, получаем
$$(x,y)=(8,27)\ \text{или}\ (27,8).$$

в)

$$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ x-y=32. \end{cases}$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).$$
Тогда
$$4(\sqrt{x}+\sqrt{y})=32 \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=8.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=8. \end{cases}$$
Складывая уравнения, находим
$$2\sqrt{x}=12 \Rightarrow \sqrt{x}=6 \Rightarrow x=36.$$
Тогда
$$\sqrt{y}=2 \Rightarrow y=4.$$

г)

$$\begin{cases} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=2,\\ xy=27. \end{cases}$$
Положим
$$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда
$$\begin{cases} a-b=2,\\ a^3b^3=27. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$(ab)^3=27 \Rightarrow ab=3.$$
Имеем систему
$$\begin{cases} a-b=2,\\ ab=3. \end{cases}$$
Подставим $$a=b+2$$:
$$b(b+2)=3 \Rightarrow b^2+2b-3=0.$$
Отсюда
$$b=1 \text{ или } b=-3.$$
Тогда
$$a=3 \text{ или } a=-1.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(27,1)\ \text{или}\ (-1,-27).$$