Упр.426 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$z=\sqrt{x},\ t=\sqrt{y},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда каждую систему решаем заменой переменных.

а)

$$\begin{cases} 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=5,\\ \sqrt{x}\sqrt{y}=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2z-t=5,\\ zt=3 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=2z-5.$$ Подставим во второе:

$$z(2z-5)=3 \\ 2z^2-5z-3=0 \\ (2z+1)(z-3)=0$$

С учётом условия $$z\ge 0$$ получаем $$z=3,$$ тогда $$t=1.$$

Возвращаемся к старым переменным:

$$\sqrt{x}=3 \Rightarrow x=9,\qquad \sqrt{y}=1 \Rightarrow y=1.$$

б)

$$\begin{cases} \sqrt{6+x}-3\sqrt{3y+4}=-10,\\ 4\sqrt{3y+4}-5\sqrt{6+x}=6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z-3t=-10,\\ 4t-5z=6 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$z=3t-10.$$ Подставим во второе:

$$4t-5(3t-10)=6 \\ 4t-15t+50=6 \\ -11t=-44 \\ t=4$$

Тогда $$z=3\cdot 4-10=2.$$

Возвращаемся к старым переменным:

$$\sqrt{6+x}=2 \Rightarrow 6+x=4 \Rightarrow x=-2,$$
$$\sqrt{3y+4}=4 \Rightarrow 3y+4=16 \Rightarrow y=4.$$

в)

$$\begin{cases} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=10,\\ \sqrt{x}\sqrt{y}=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z+3t=10,\\ zt=8 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$z=10-3t.$$ Подставим во второе:

$$(10-3t)t=8 \\ 10t-3t^2-8=0 \\ 3t^2-10t+8=0 \\ (3t-4)(t-2)=0$$

Отсюда $$t=2$$ или $$t=\frac{4}{3}.$$

Тогда:

при $$t=2$$ имеем $$z=4,$; при$$t=\frac{4}{3}$$имеем$$z=6.$$

Возвращаемся к старым переменным:

$$
\sqrt{x}=4,\ \sqrt{y}=2 \Rightarrow x=16,\ y=4;
$$$$
\sqrt{x}=6,\ \sqrt{y}=\frac{4}{3} \Rightarrow x=36,\ y=\frac{16}{9}.
$$

г)

$$
\begin{cases}
2\sqrt{x-2}+5\sqrt{5y+1}=8,\\
3\sqrt{x-2}-2\sqrt{5y+1}=-2
\end{cases}
$$

Обозначим$$z=\sqrt{x-2},\ t=\sqrt{5y+1}.$$Тогда

$$
\begin{cases}
2z+5t=8,\\
3z-2t=-2
\end{cases}
$$

Умножим первое уравнение на$$2,$$второе на$$5$$:

$$
\begin{cases}
4z+10t=16,\\
15z-10t=-10
\end{cases}
$$

Сложим уравнения:

$$
19z=6 \Rightarrow z=\frac{6}{19}.
$$

Тогда

$$
2\cdot \frac{6}{19}+5t=8 \Rightarrow 5t=\frac{140}{19} \Rightarrow t=\frac{28}{19}.
$$

Возвращаемся к старым переменным:

$$
x-2=\left(\frac{6}{19}\right)^2=\frac{36}{361},\qquad
5y+1=\left(\frac{28}{19}\right)^2=\frac{784}{361}.
$$

Отсюда

$$
x=2+\frac{36}{361}=\frac{758}{361},\qquad
y=\frac{\frac{784}{361}-1}{5}=\frac{423}{1805}.
$$

Ответ

а)$$x=9,\ y=1.$$

б)$$x=-2,\ y=4.$$

в)$$x=16,\ y=4$$или$$x=36,\ y=\frac{16}{9}.$$

г)$$x=\frac{758}{361},\ y=\frac{423}{1805}.$$