Упр.425 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Положим в каждом пункте новую переменную и учтём, что корень чётной степени неотрицателен.

Решение

1. $$\sqrt{x-3}-6=\sqrt[4]{x-3}$$

   Обозначим $$t=\sqrt[4]{x-3}$$, тогда $$t^2=\sqrt{x-3}$$. Получаем:

   $$t^2-6=t$$

   $$t^2-t-6=0$$

   $$t_1=3,\quad t_2=-2.$$

   Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=3$$. Тогда

   $$\sqrt[4]{x-3}=3$$

   $$x-3=81$$

   $$x=84.$$

2. $$\sqrt[3]{x+1}+2\sqrt[6]{x+1}=3$$

   Обозначим $$t=\sqrt[6]{x+1}$$, тогда $$t^2=\sqrt[3]{x+1}$$. Получаем:

   $$t^2+2t=3$$

   $$t^2+2t-3=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-3.$$

   Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда

   $$\sqrt[6]{x+1}=1$$

   $$x+1=1$$

   $$x=0.$$

3. $$\sqrt[4]{x-5}=30-\sqrt{x-5}$$

   Обозначим $$t=\sqrt[4]{x-5}$$, тогда $$t^2=\sqrt{x-5}$$. Получаем:

   $$t=30-t^2$$

   $$t^2+t-30=0$$

   $$t_1=5,\quad t_2=-6.$$

   Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=5$$. Тогда

   $$\sqrt[4]{x-5}=5$$

   $$x-5=625$$

   $$x=630.$$

4. $$3\sqrt[10]{x^2-3}+\sqrt[5]{x^2-3}=4$$

   Обозначим $$t=\sqrt[10]{x^2-3}$$, тогда $$t^2=\sqrt[5]{x^2-3}$$. Получаем:

   $$3t+t^2=4$$

   $$t^2+3t-4=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-4.$$

   Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда

   $$\sqrt[10]{x^2-3}=1$$

   $$x^2-3=1$$

   $$x^2=4$$

   $$x=\pm 2.$$

Ответ

а) $$84$$; б) $$0$$; в) $$630$$; г) $$-2,\ 2$$.