Упр.424 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Область допустимых значений: $$x-3\ge 0,\quad x-4\ge 0,$$ значит $$x\ge 4.$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-4}$$
$$x-3=1+2\sqrt{x-4}+x-4$$
$$x-3=x-3+2\sqrt{x-4}$$
$$2\sqrt{x-4}=0$$
$$\sqrt{x-4}=0$$
$$x-4=0$$
$$x=4.$$

Проверка показывает, что найденное значение подходит.

б) Область допустимых значений: $$x+2\ge 0,\quad x-6\ge 0,$$ значит $$x\ge 6.$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\sqrt{x+2}-\sqrt{x-6}=2$$
$$x+2-2\sqrt{(x+2)(x-6)}+x-6=4$$
$$2x-4-2\sqrt{x^2-4x-12}=4$$
$$2x-2\sqrt{x^2-4x-12}=8$$
$$2\sqrt{x^2-4x-12}=2x-8$$
$$\sqrt{x^2-4x-12}=x-4.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2-4x-12=(x-4)^2=x^2-8x+16$$
$$4x=28$$
$$x=7.$$

Проверка: $$7\ge 6,$$ значит корень подходит.

в) Область допустимых значений: $$10-x\ge 0,\quad 22-x\ge 0,$$ значит $$x\le 10.$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$2+\sqrt{10-x}=\sqrt{22-x}$$
$$4+4\sqrt{10-x}+10-x=22-x$$
$$4\sqrt{10-x}=8$$
$$\sqrt{10-x}=2$$
$$10-x=4$$
$$x=6.$$

Проверка показывает, что значение подходит.

г) Область допустимых значений: $$1-2x\ge 0,\quad 16+x\ge 0,$$ значит $$x\in[-16;\tfrac12].$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\sqrt{1-2x}-3=\sqrt{16+x}$$
$$1-2x-6\sqrt{1-2x}+9=16+x$$
$$-6\sqrt{1-2x}=6+3x$$
$$\sqrt{1-2x}=-\left(1+\frac{x}{2}\right).$$

Теперь возведём в квадрат:

$$1-2x=\left(1+\frac{x}{2}\right)^2$$
$$1-2x=1+x+\frac{x^2}{4}$$
$$x\left(\frac{x}{4}+3\right)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-12.$$

Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

а) $$x=4$$; б) $$x=7$$; в) $$x=6$$; г) $$x=0,\,-12$$.