Упр.422 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{x+1}\sqrt{x+6}=6.$$

ОДЗ: $$x+1\ge 0,\quad x+6\ge 0,$$ значит $$x\in[-1;\infty).$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\begin{aligned} (x+1)(x+6)&=36\\ x^2+7x+6&=36\\ x^2+7x-30&=0\\ (x+10)(x-3)&=0 \end{aligned}$$

Отсюда $$x=-10$$ или $$x=3.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=3.$$

б) $$\frac{x+1}{\sqrt{2x-1}}=\sqrt{x-1}.$$

ОДЗ: $$2x-1>0,\quad x-1\ge 0,$$ значит $$x\in[1;\infty).$$

Умножим обе части на $$\sqrt{2x-1}:$$

$$x+1=\sqrt{x-1}\sqrt{2x-1}.$$

Возведём в квадрат:

$$\begin{aligned} (x+1)^2&=(x-1)(2x-1)\\ x^2+2x+1&=2x^2-3x+1\\ x^2-5x&=0\\ x(x-5)&=0 \end{aligned}$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=5.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=5.$$

в) $$\frac{x+6}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{3x+2}.$$

ОДЗ: $$x-2>0,\quad 3x+2\ge 0,$$ значит $$x\in(2;\infty).$$

Умножим обе части на $$\sqrt{x-2}:$$

$$x+6=\sqrt{3x+2}\sqrt{x-2}.$$

Возведём в квадрат:

$$\begin{aligned} (x+6)^2&=(3x+2)(x-2)\\ x^2+12x+36&=3x^2-4x-4\\ 2x^2-16x-40&=0\\ x^2-8x-20&=0\\ (x-10)(x+2)&=0 \end{aligned}$$

Отсюда $$x=10$$ или $$x=-2.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=10.$$

г) $$\sqrt{x}\sqrt{2-x}=2x.$$

ОДЗ: $$x\ge 0,\quad 2-x\ge 0,$$ значит $$x\in[0;2].$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\begin{aligned} x(2-x)&=4x^2\\ 2x-x^2&=4x^2\\ 5x^2-2x&=0\\ x(5x-2)&=0 \end{aligned}$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=\frac{2}{5}.$$

Оба значения принадлежат ОДЗ, значит оба являются решениями.

Ответ: а) $$3$$; б) $$5$$; в) $$10$$; г) $$0,\ \frac{2}{5}.$$