Упр.421 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt[3]{x}$$ и $$t=\sqrt[3]{y}$$. Тогда система принимает вид

   $$\begin{cases} z+2t=1,\\ 3z-t=10. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$z=1-2t$$. Подставим во второе:

   $$3(1-2t)-t=10 \\ 3-7t=10 \\ -7t=7 \\ t=-1.$$

   Тогда $$z=1-2(-1)=3$$. Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$\sqrt[3]{x}=3 \Rightarrow x=27, \qquad \sqrt[3]{y}=-1 \Rightarrow y=-1.$$

2. б) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt[4]{x}$$ и $$t=\sqrt[4]{y}$$. Получаем систему

   $$\begin{cases} 4z-t=2\sqrt{2},\\ 2z+3t=8\sqrt{2}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$t=4z-2\sqrt{2}$$. Подставим во второе:

   $$2z+3(4z-2\sqrt{2})=8\sqrt{2} \\ 14z=14\sqrt{2} \\ z=\sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$t=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$

   Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$\sqrt[4]{x}=\sqrt{2} \Rightarrow x=(\sqrt{2})^4=4, \qquad \sqrt[4]{y}=2\sqrt{2} \Rightarrow y=(2\sqrt{2})^4=64.$$

3. в) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt[4]{x}$$ и $$t=\sqrt[4]{y}$$. Тогда

   $$\begin{cases} 2z+t=7,\\ 4t-3z=6. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$t=7-2z$$. Подставим во второе:

   $$4(7-2z)-3z=6 \\ 28-11z=6 \\ 11z=22 \\ z=2.$$

   Тогда $$t=7-2\cdot 2=3$$. Следовательно,

   $$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16, \qquad \sqrt[4]{y}=3 \Rightarrow y=81.$$

4. г) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x}$$, $$t=\sqrt{y}$$ и обозначим $$a=\sqrt{5}$$. Тогда система имеет вид

   $$\begin{cases} z+3t=5a,\\ 5t-2z=a. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$z=5a-3t$$. Подставим во второе:

   $$5t-2(5a-3t)=a \\ 11t=11a \\ t=a=\sqrt{5}.$$

   Тогда

   $$z=5\sqrt{5}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}.$$

   Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$\sqrt{x}=2\sqrt{5} \Rightarrow x=(2\sqrt{5})^2=20, \qquad \sqrt{y}=\sqrt{5} \Rightarrow y=(\sqrt{5})^2=5.$$

Ответ

а) $$x=27,\ y=-1$$; б) $$x=4,\ y=64$$; в) $$x=16,\ y=81$$; г) $$x=20,\ y=5$$.