Упр.42 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что:
- а) $$n^4+2n^3-n^2-2n$$ делится на $$24$$, если $$n\in\mathbb{N}$$;
б) $$(n^2+4n+3)(n^2+6n+8)$$ делится на $$24$$, если $$n\in\mathbb{N}$$;
в) $$n^3-n$$ делится на $$6$$, если $$n\in\mathbb{N}$$;
г) $$n^3-4n$$ делится на $$48$$, если $$n\in\mathbb{N}$$, $$n$$ — чётное.
а) $$n^4+2n^3-n^2-2n=n^3(n+2)-n(n+2)=(n^3-n)(n+2)=n(n^2-1)(n+2)=(n-1)n(n+1)(n+2).$$
Среди четырёх последовательных чисел $$n-1,\ n,\ n+1,\ n+2$$ одно делится на $$4$$, одно — на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, произведение делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.
Следовательно, $$n^4+2n^3-n^2-2n$$ делится на $$24$$.
б) $$\begin{aligned} (n^2+4n+3)(n^2+6n+8)&=(n+1)(n+3)(n+2)(n+4)\\ &=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4). \end{aligned}$$
Это произведение четырёх последовательных чисел, поэтому оно делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.
Следовательно, $$(n^2+4n+3)(n^2+6n+8)$$ делится на $$24$$.
в) $$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).$$
Это произведение трёх последовательных чисел. Среди них одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$, значит, всё произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.
Следовательно, $$n^3-n$$ делится на $$6$$.
г) Пусть $$n=2k$$, где $$k\in N$$. Тогда
$$n^3-4n=(2k)^3-4\cdot 2k=8k^3-8k=8k(k^2-1)=8k(k-1)(k+1).$$
Среди трёх последовательных чисел $$k-1,\ k,\ k+1$$ одно делится на $$3$$, значит, произведение $$k(k-1)(k+1)$$ делится на $$3$$. Тогда всё выражение делится на $$8\cdot 3=24$$.
Но так как $$n=2k$$, то
$$n^3-4n=8k(k-1)(k+1),$$
и, следовательно, оно делится на $$48$$.
Ответ: а) делится на $$24$$; б) делится на $$24$$; в) делится на $$6$$; г) делится на $$48$$.
