Упр.42 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите справедливость равенства $$1-\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}^2(?)-\operatorname{tg}^3(?)+\ldots=\frac{v2\cos(?)}{2\sin(?/4+?)}$$ для любого $$??(0; ?/4)$$.

Подробный ответ

Так как $$\varphi \in \left(0;\frac{\pi}{4}\right),$$ то $$\cos \varphi>\sin \varphi>0$$ и, следовательно,

$$|\tg \varphi|<1.$$

Тогда данная бесконечная геометрическая прогрессия сходится, и её сумма равна

$$S=1-\tg \varphi+\tg^2 \varphi-\tg^3 \varphi+\cdots=\frac{1}{1-(-\tg \varphi)}=\frac{1}{1+\tg \varphi}.$$

Подставим $$\tg \varphi=\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}:$$

$$S=\frac{1}{1+\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}}=\frac{\cos \varphi}{\cos \varphi+\sin \varphi}.$$

Теперь преобразуем знаменатель:

$$\cos \varphi+\sin \varphi=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \varphi+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \varphi\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right).$$

Тогда

$$S=\frac{\cos \varphi}{\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)}=\frac{\sqrt{2}\cos \varphi}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)}.$$

Следовательно,

$$1-\tg \varphi+\tg^2 \varphi-\tg^3 \varphi+\cdots=\frac{\sqrt{2}\cos \varphi}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)}.$$