Упр.419 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Возведём обе части в квадрат:

$$2x+1=x^2-2x+4$$

Так как подкоренные выражения неотрицательны, получаем:

$$2x+1\ge 0,\qquad x^2-2x+4\ge 0.$$

Решаем уравнение:

$$x^2-4x+3=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=1,\; x=3.$$

Оба корня удовлетворяют условию $$2x+1\ge 0$$.

б) Возведём обе части в квадрат:

$$x=x^2-x-3$$

Так как подкоренные выражения неотрицательны, имеем:

$$x\ge 0,\qquad x^2-x-3\ge 0.$$

Получаем уравнение:

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=-1,\; x=3.$$

Из них условию $$x\ge 0$$ удовлетворяет только $$x=3$$.

в) Возведём обе части в квадрат:

$$x+2=2x-3$$

Отсюда:

$$x=5.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x+2\ge 0,\qquad 2x-3\ge 0.$$

При $$x=5$$ оба неравенства выполняются, значит, это корень уравнения.

г) Возведём обе части в квадрат:

$$9-x^2=x+9$$

Тогда:

$$x^2+x=0$$

$$x\left(x+1\right)=0$$

$$x=0,\; x=-1.$$

Проверим условия:

$$9-x^2\ge 0,\qquad x+9\ge 0.$$

Оба найденных значения удовлетворяют этим условиям.

Ответ

а) $$x=1,\;3$$; б) $$x=3$$; в) $$x=5$$; г) $$x=0,\;-1$$.