Упр.416 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

1. $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})}$$

   Так как $$\left(\sqrt[3]{2}\right)^3-\left(\sqrt[3]{3}\right)^3=2-3=-1,$$ то
   $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}.$$

2. $$\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}}=\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{(a-\sqrt[3]{b})\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}$$

   Тогда
   $$\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}}=\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a^3-b}.$$

3. $$\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}=\frac{2\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}\right)}{(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7})\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}\right)}$$

   Так как
   $$\left(\sqrt[3]{5}\right)^3+\left(\sqrt[3]{7}\right)^3=5+7=12,$$
   получаем
   $$\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}=\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}}{6}.$$

4. $$\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}$$

   Тогда
   $$\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{a+b}.$$

Ответ

а) $$-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}$$

б) $$\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a^3-b}$$

в) $$\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}}{6}$$

г) $$\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{a+b}$$