Упр.410 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Положим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt[3]{x}.$$

а)

$$\sqrt[3]{x}-5\sqrt[6]{x}+6=0$$

Получаем:

$$t^2-5t+6=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0$$

$$t_1=2,\quad t_2=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=2^6=64,$$

$$\sqrt[6]{x}=3 \Rightarrow x=3^6=729.$$

б)

Положим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt{x}.$$

Имеем:

$$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}=2$$

$$t^2+t=2$$

$$t^2+t-2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0$$

Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=1.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$

в)

Положим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt{x}.$$

Получаем:

$$\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2=0$$

$$t^2-3t+2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

$$t_1=1,\quad t_2=2.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1,$$

$$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16.$$

г)

Положим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt[3]{x}.$$

Имеем:

$$\sqrt[3]{x}-5\sqrt[6]{x}=6$$

$$t^2-5t=6$$

$$t^2-5t-6=0$$

$$\left(t-6\right)\left(t+1\right)=0$$

Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=6.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{x}=6 \Rightarrow x=6^6=46656.$$

Ответ

а) $$64,\ 729$$; б) $$1$$; в) $$1,\ 16$$; г) $$46656$$.