Упр.41 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите в целых числах уравнение $$\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+\ldots+\frac{1}{x}=3$$.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+\dots+\frac{1}{x}=3.$$

Каждую дробь представим в виде $$1-\frac{k}{x}$$:

$$\left(1-\frac{1}{x}\right)+\left(1-\frac{2}{x}\right)+\left(1-\frac{3}{x}\right)+\dots+\left(1-\frac{x-1}{x}\right)=3.$$

Тогда

$$x-1-\frac{1+2+3+\dots+(x-1)}{x}=3.$$

Сумма первых $$x-1$$ натуральных чисел равна

$$1+2+3+\dots+(x-1)=\frac{(x-1)x}{2}.$$

Подставим:

$$x-1-\frac{\frac{(x-1)x}{2}}{x}=3,$$

$$x-1-\frac{x-1}{2}=3.$$

Умножим на $$2$$:

$$2x-2-(x-1)=6,$$

$$x-1=6,$$

$$x=7.$$

Ответ: $$7$$.