Упр.409 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Приведём выражения к виду $$a\sqrt[n]{b}$$.

1. $$\sqrt[12]{25^3}=\sqrt[12]{5^6}=\sqrt{5}.$$
2. $$\sqrt[3]{\frac12\cdot \sqrt[4]{2}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot 2^{1/4}}=\sqrt[3]{2^{-1+1/4}}=\sqrt[3]{2^{-3/4}}=2^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{1}{\sqrt[4]{2}}=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}=\frac12\sqrt[4]{8}.$$

3. $$\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}}=\sqrt[8]{\frac{2^{12}}{3^4}}=\sqrt[8]{\frac{2^{12}\cdot 3^4}{3^8}}=\sqrt[8]{\frac{2^{12}\cdot 3^4}{3^8}}=\frac{2}{3}\sqrt[8]{2^4\cdot 3^4}=\frac{2}{3}\sqrt[8]{6^4}=\frac{2}{3}\sqrt{6}.$$
4. $$\sqrt[4]{\frac14\cdot \sqrt[3]{5}}=\sqrt[4]{\frac{1}{4}\cdot 5^{1/3}}=\sqrt[4]{\frac{5\cdot 5^4}{4^3\cdot 5^3}}=\frac12\sqrt[12]{320}.$$

Ответ: а) $$\sqrt5$$; б) $$\frac12\sqrt[4]{8}$$; в) $$\frac23\sqrt6$$; г) $$\frac12\sqrt[12]{320}$$.