Упр.40 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Три числа, каждое из которых является степенью с основанием $$a$$, $$a>0,\ a\ne1$$, составляют геометрическую прогрессию. Докажите, что логарифмы этих чисел составляют арифметическую прогрессию.

Пусть три данных числа имеют вид $$a^{x},\ a^{y},\ a^{z}$$, где $$a>0,\ a\ne 1.$$

Так как они составляют геометрическую прогрессию, то для среднего члена выполняется условие:

$$\left(a^{y}\right)^2=a^{x}\cdot a^{z}.$$

Отсюда

$$a^{2y}=a^{x+z}.$$

Поскольку основание $$a>0,\ a\ne 1,$$ получаем равенство показателей:

$$2y=x+z.$$

Теперь рассмотрим логарифмы этих чисел по основанию $$a$$:

$$\log_a a^x=x,\qquad \log_a a^y=y,\qquad \log_a a^z=z.$$

Тогда

$$2\log_a a^y=2y=x+z=\log_a a^x+\log_a a^z.$$

Следовательно, логарифмы данных чисел образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: доказано.