Упр.40 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что $$2^{\log_{2}x}=x^{\log_{x}2}$$, если $$x>1$$.
   б) Вычислите без таблиц: $$2^{\log_{2}3}-3^{\log_{3}2}$$.

Пусть

$$a=2^{\sqrt{\log_2 x}}-x^{\sqrt{\log_x 2}}, \qquad x>1.$$

Тогда

$$x^{\sqrt{\log_x 2}}=\left(2^{\log_2 x}\right)^{\sqrt{\log_x 2}}=2^{\log_2 x\cdot \sqrt{\log_x 2}}.$$

Так как

$$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x},$$

то

$$\log_2 x\cdot \sqrt{\log_x 2}=\log_2 x\cdot \sqrt{\frac{1}{\log_2 x}}=\sqrt{\log_2 x}.$$

Следовательно,

$$x^{\sqrt{\log_x 2}}=2^{\sqrt{\log_2 x}}.$$

Значит, равенство доказано.

Теперь вычислим:

$$2^{\sqrt{\log_2 3}}-3^{\sqrt{\log_3 2}}.$$

По доказанному равенству при $$x=3$$ имеем

$$2^{\sqrt{\log_2 3}}=3^{\sqrt{\log_3 2}}.$$

Тогда

$$2^{\sqrt{\log_2 3}}-3^{\sqrt{\log_3 2}}=0.$$

Ответ: $$0$$