Упр.4 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что число $$10^{56}-1$$ делится на 3 и 11.

Рассмотрим число $$a=10^{56}-1.$$

Запишем его в десятичной форме:

$$10^{56}-1=999\ldots 9,$$

где стоит $$56$$ цифр $$9$$.

Сумма цифр этого числа равна

$$9+9+\cdots+9=56\cdot 9,$$

а значит, число делится на $$3$$, так как сумма его цифр делится на $$3$$.

Кроме того, число с чётным количеством цифр $$9$$ делится на $$11$$, поскольку разность суммы цифр на нечётных и чётных местах равна

$$9-9+9-9+\cdots+9-9=0.$$

Следовательно, $$10^{56}-1$$ делится и на $$3$$, и на $$11$$.

Ответ: $$10^{56}-1$$ делится на $$3$$ и на $$11$$.