Упр.4 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Для функции $$y=a^x$$, где $$a>0$$ и $$a\ne 1$$:

• область определения: $$D(x)=\mathbb{R}$$;
• область значений: $$E(y)=(0;+\infty)$$;
• при $$a>1$$ функция возрастает на $$\mathbb{R}$$;
• при $$0<a<1$$ функция убывает на $$\mathbb{R}$$;
• выполняются равенства:
  $$a^x\cdot a^y=a^{x+y},\qquad \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},$$
  $$(ab)^x=a^x b^x,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x},\qquad (a^x)^y=a^{xy}.$$

Ход решения

2) Построим графики функций.

• $$y=4^x$$ — возрастающая показательная функция, так как $$4>1$$;
• $$y=\left(\frac14\right)^x$$ — убывающая показательная функция, так как $$0<\frac14<1$$;
• $$y=6^x$$ — возрастающая показательная функция, так как $$6>1$$;
• $$y=\left(\frac16\right)^x$$ — убывающая показательная функция, так как $$0<\frac16<1$$.

3) Сравним числа.

1. $$\frac23>0{,}16,\qquad \frac{\sqrt2}{3}>0{,}4,$$
   а так как $$2>1$$ и $$0{,}4<\frac{\sqrt2}{3},$$ то
   $$2^{0{,}4}<2^{\frac{\sqrt2}{3}}.$$
   Больше число $$2^{\frac{\sqrt2}{3}}$$.
2. $$-\sqrt3<\sqrt5,\qquad 1{,}2>1,$$
   значит
   $$1{,}2^{-\sqrt3}<1{,}2^{\sqrt5}.$$
   Больше число $$1{,}2^{\sqrt5}$$.
3. $$\sqrt5>\sqrt3,\qquad \frac12<1,$$
   поэтому при основании меньше 1 знак неравенства меняется:
   $$\left(\frac12\right)^{\sqrt5}<\left(\frac12\right)^{\sqrt3}.$$
   Больше число $$\left(\frac12\right)^{\sqrt3}$$.
4. $$-\pi>-3,\qquad 0{,}3<1,$$
   значит
   $$0{,}3^{-\pi}>0{,}3^{-3}.$$
   Больше число $$0{,}3^{-\pi}$$.

Ответ

1) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=(0;+\infty)$$; при $$a>1$$ функция возрастает, при $$0<a<1$$ убывает.
2) Графики: $$y=4^x,\ y=\left(\frac14\right)^x,\ y=6^x,\ y=\left(\frac16\right)^x$$ — соответственно возрастающие и убывающие показательные функции.
3) а) $$2^{\frac{\sqrt2}{3}}$$; б) $$1{,}2^{\sqrt5}$$; в) $$\left(\frac12\right)^{\sqrt3}$$; г) $$0{,}3^{-\pi}$$.