Упр.4 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
2. Приведите примеры криволинейных трапеций.
3. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями, и найдите её площадь:
   а) $$y=\sin(x),\ y=0,\ x=\frac{\pi}{6},\ x=\frac{\pi}{3}$$;
   б) $$y=-x^3,\ y=0,\ x=-2$$;
   в) $$y=(x-1)^2,\ y=0,\ x=3$$;
   г) $$y=3-2x-x^2,\ y=0,\ x=0,\ x=-2$$.

1) Пусть на отрезке $$[a;b]$$ оси абсцисс задана непрерывная функция $$f$$, не меняющая на нём знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком $$[a;b]$$ и прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$, называют криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

$$S=F(b)-F(a),$$

где $$F$$ — первообразная функции $$f$$.

2) Примеры криволинейных трапеций — фигуры, ограниченные графиками функций $$y=\sin x$$, $$y=-x^3$$, $$y=(x-1)^2$$, $$y=3-2x-x^2$$ и осью $$Ox$$ на указанных промежутках.

3) Найдём площади данных криволинейных трапеций:

1. $$S=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin x\,dx=\left(-\cos x\right)\Big|_{\pi/6}^{\pi/3}=-\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$
2. $$S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Big|_{-2}^{0}=0-\left(-\frac{16}{4}\right)=4.$$
3. $$S=\int_{1}^{3}(x-1)^2\,dx=\left(\frac{(x-1)^3}{3}\right)\Big|_{1}^{3}=\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3}.$$
4. $$S=\int_{-2}^{0}(3-2x-x^2)\,dx=\left(3x-x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{0}$$
   $$=0-\left(-6-4+\frac{8}{3}\right)=\frac{22}{3}.$$

Ответ: 1) $$S=F(b)-F(a)$$; 3) а) $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$; б) $$4$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$\frac{22}{3}$$.