Упр.4 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите число делителей числа $$n$$, если:
   а) $$n=1024$$;
   б) $$n=210$$;
   в) $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$$ ($$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$$ — натуральные числа, $$p_1,p_2,\ldots,p_k$$ — различные простые числа);
   г) $$n=10!$$ (один из способов обозначения произведения $$1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k$$ — $$k!$$).

Число делителей числа, разложенного на простые множители в виде $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},$$ равно

$$N=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

1. $$1024=2^{10}.$$

   Тогда

   $$N=10+1=11.$$

2. $$210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7.$$

   Здесь все показатели равны $$1$$, значит

   $$N=(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2^4=16.$$

3. Если

   $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},$$

   то число делителей равно

   $$N=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

4. $$10!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10.$$

   Разложим на простые множители:

   $$10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$$

   Тогда число делителей:

   $$N=(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)=9\cdot 5\cdot 3\cdot 2=270.$$

Ответ: а) $$11$$; б) $$16$$; в) $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$$; г) $$270$$.