Упр.4 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Существуют ли числа $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$, для которых:

1. $$\sin\alpha=-0{,}5,\quad \cos\beta=\sqrt{3},\quad \operatorname{tg}\gamma=-2{,}5$$;
2. $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2},\quad \cos\beta=-2{,}2,\quad \operatorname{tg}\gamma=0{,}31$$;
3. $$\sin\alpha=1{,}3,\quad \cos\beta=\frac{\sqrt{10}}{4},\quad \operatorname{tg}\gamma=5{,}2$$;
4. $$\sin\alpha=-\frac{7}{9},\quad \cos\beta=\sqrt{2{,}5},\quad \operatorname{tg}\gamma=-7{,}5$$?

Для существования чисел, удовлетворяющих данным равенствам, учитываем, что

$$|\sin x|\le 1,\qquad |\cos x|\le 1,$$

а функция $$\tg x$$ не ограничена.

1. $$\sin \alpha=-0{,}5,\quad \cos \beta=\sqrt{3},\quad \tg \gamma=-2{,}5.$$

   Число $$\alpha$$ существует, так как $$|-0{,}5|\le 1.$$

   Число $$\beta$$ не существует, так как $$\sqrt{3}\approx 1{,}73>1.$$

   Число $$\gamma$$ существует, так как значение тангенса может быть любым действительным числом.

2. $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{2},\quad \cos \beta=-2{,}2,\quad \tg \gamma=0{,}31.$$

   Число $$\alpha$$ не существует, так как $$\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12>1.$$

   Число $$\beta$$ не существует, так как $$-2{,}2<-1.$$

   Число $$\gamma$$ существует.

3. $$\sin \alpha=1{,}3,\quad \cos \beta=\frac{\sqrt{10}}{4},\quad \tg \gamma=5{,}2.$$

   Число $$\alpha$$ не существует, так как $$1{,}3>1.$$

   Число $$\beta$$ существует, так как $$\frac{\sqrt{10}}{4}\approx 0{,}79\le 1.$$

   Число $$\gamma$$ существует.

4. $$\sin \alpha=-\frac{7}{9},\quad \cos \beta=\sqrt{2{,}5},\quad \tg \gamma=-7{,}5.$$

   Число $$\alpha$$ существует, так как $$\left|-\frac{7}{9}\right|\le 1.$$

   Число $$\beta$$ не существует, так как $$\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}58>1.$$

   Число $$\gamma$$ существует.

Ответ: а) $$\alpha$$ и $$\gamma$$ существуют, $$\beta$$ не существует; б) $$\gamma$$ существует, $$\alpha$$ и $$\beta$$ не существуют; в) $$\beta$$ и $$\gamma$$ существуют, $$\alpha$$ не существует; г) $$\alpha$$ и $$\gamma$$ существуют, $$\beta$$ не существует.