Упр.39 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $$10{,}5$$, а сумма прогрессии равна $$12$$. Найдите ее первый член и знаменатель.

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:

$$S=12,\qquad S_3=10{,}5,\qquad |q|<1.$$

Сумма всех членов прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=12,$$

откуда

$$b_1=12(1-q).$$

Сумма первых трёх членов:

$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=10{,}5.$$

Подставим найденное выражение для $$b_1$$:

$$12(1-q)\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=10{,}5,$$

$$12(1-q^3)=10{,}5.$$

Тогда

$$1-q^3=\frac{10{,}5}{12}=\frac{7}{8},$$

$$q^3=\frac{1}{8},\qquad q=\frac{1}{2}.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=12\left(1-\frac{1}{2}\right)=6.$$

Ответ

$$b_1=6,\qquad q=\frac{1}{2}.$$