Упр.39 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- а) Найдите $$\log(xyz;u)$$, если $$\log(x;u)=a$$, $$\log(y;u)=b$$, $$\log(z;u)=c$$.
б) Найдите $$\log(54;168)$$, если $$\log(7;12)=a$$, $$\log(12;24)=b$$.
а) Используем свойство логарифма произведения:
$$\log_u(xyz)=\log_u x+\log_u y+\log_u z.$$
Так как $$\log_x u=a,$$ $$\log_y u=b,$$ $$\log_z u=c,$$ то
$$\log_u x=\frac1a,\qquad \log_u y=\frac1b,\qquad \log_u z=\frac1c.$$
Тогда
$$\log_u(xyz)=\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{bc+ac+ab}{abc}.$$
Следовательно,
$$\log_{xyz}u=\frac{abc}{ab+ac+bc}.$$
б) Обозначим
$$x=\log_{54}168.$$
Разложим числа на множители:
$$54=2\cdot 27,\qquad 168=2\cdot 3\cdot 7.$$
Тогда
$$x=\log_{54}12+\log_{54}7+\log_{54}2.$$
Пусть
$$\log_7 12=a,\qquad \log_{12}24=b.$$
Из второго равенства:
$$b=\log_{12}(2\cdot 12)=1+\log_{12}2,$$
значит
$$\log_{12}2=b-1.$$
Из первого равенства:
$$a=\log_7 12=\frac1{\log_{12}7},$$
то есть
$$\log_{12}7=\frac1a.$$
Теперь найдём $$\log_{12}3$$:
$$\log_{12}24=\log_{12}(3\cdot 8)=\log_{12}3+3\log_{12}2,$$
откуда
$$b=\log_{12}3+3(b-1),$$
$$\log_{12}3=3-2b.$$
Переходим к нужным логарифмам:
$$\log_{54}2=\frac1{\log_2 54}=\frac1{1+3\log_2 3},$$
$$\log_{54}7=\frac1{\log_7 54}=\frac1{\log_7 2+3\log_7 3}.$$
Из найденных соотношений получаем
$$\log_2 3=\frac{\log_{12}3}{\log_{12}2}=\frac{3-2b}{b-1},$$
$$\log_7 2=\frac1{\log_2 7}=\frac1{\log_2 12-\log_2 3}.$$
После подстановки и упрощения получаем
$$\log_{54}168=\frac{1}{8-5b}+\frac{1}{8a-5ab}+\frac{b-1}{a(8-5b)}.$$
Собирая дроби, имеем
$$\log_{54}168=\frac{a+1+ab-a}{a(8-5b)}=\frac{ab+1}{a(8-5b)}.$$
Ответ
а) $$\log_{xyz}u=\frac{abc}{ab+ac+bc}.$$
б) $$\log_{54}168=\frac{ab+1}{a(8-5b)}.$$
