Упр.380 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Центр масс однородного прямого кругового конуса лежит на его оси $$OA$$. Пусть расстояние от вершины конуса до центра масс равно $$x$$, а высота конуса равна $$h$$, радиус основания — $$r$$.

Рассмотрим тонкий слой конуса на расстоянии $$x$$ от вершины. Его радиус пропорционален расстоянию до вершины:

$$\frac{x}{h}=\frac{y}{r}, \qquad y=\frac{r}{h}x.$$

Тогда объём слоя толщины $$dx$$ равен

$$dV=\pi y^2\,dx=\pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx.$$

Координата центра масс по оси $$OA$$ находится по формуле

$$x_0=\frac{\int_0^h x\,dV}{\int_0^h dV}.$$

Подставим $$dV$$:

$$x_0=\frac{\int_0^h x\cdot \pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx}{\int_0^h \pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx} =\frac{\int_0^h x^3\,dx}{\int_0^h x^2\,dx}.$$

Вычислим интегралы:

$$x_0=\frac{\frac{h^4}{4}}{\frac{h^3}{3}}=\frac{3}{4}h.$$

Значит, центр масс конуса расположен на его оси на расстоянии $$\frac{3}{4}h$$ от вершины, то есть на расстоянии $$\frac{1}{4}h$$ от основания.