Упр.38 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой $$b_1=\sqrt{3}$$, $$b_2=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$$.

В данной прогрессии:

$$b_1=\sqrt{3}, \qquad b_2=\frac{2}{\sqrt{3}+1}.$$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$q=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}(3-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}=1-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, её сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt{3}}{1-\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=3.$$

Ответ: $$q=1-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad S=3.$$