Упр.38 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\sin(47^\circ)+\sin(61^\circ)-\sin(11^\circ)-\sin(25^\circ)=\cos(7^\circ)$$.

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\bigl(\sin 47^\circ+\sin 61^\circ\bigr)-\bigl(\sin 11^\circ+\sin 25^\circ\bigr).$$

Применим формулу суммы синусов:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ=2\sin 54^\circ\cos 7^\circ,$$

$$\sin 11^\circ+\sin 25^\circ=2\sin 18^\circ\cos 7^\circ.$$

Следовательно,

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ$$

$$=2\cos 7^\circ\bigl(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ\bigr).$$

Теперь используем формулу разности синусов:

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

Получаем

$$\sin 54^\circ-\sin 18^\circ=2\cos 36^\circ\sin 18^\circ.$$

Тогда

$$2\cos 7^\circ\bigl(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ\bigr)=4\sin 18^\circ\cos 36^\circ\cos 7^\circ.$$

Из известного тождества

$$2\sin 18^\circ\cos 36^\circ=\frac12,$$

следует, что

$$4\sin 18^\circ\cos 36^\circ=1.$$

Значит,

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ=\cos 7^\circ.$$

Ответ: $$\cos 7^\circ$$.