Упр.379 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Разобьём стержень на бесконечно малые части длины $$dx$$, находящиеся на расстоянии $$x$$ от оси вращения.

Масса такой части:

$$dm=\rho S\,dx.$$

Её линейная скорость:

$$v=\omega x.$$

Тогда элемент кинетической энергии равен

$$dE=\frac{dm\cdot v^2}{2}=\frac{\rho S\,dx\cdot \omega^2 x^2}{2}.$$

Полная кинетическая энергия стержня:

$$E=\int_0^l \frac{\rho S\omega^2 x^2}{2}\,dx=\frac{\rho S\omega^2}{2}\int_0^l x^2\,dx=\frac{\rho S\omega^2}{2}\cdot \frac{l^3}{3}=\frac{\rho S\omega^2 l^3}{6}.$$

Подставим данные:

$$l=20\text{ см},\quad S=4\text{ см}^2,\quad \rho=7{,}8\text{ г/см}^3,\quad \omega=10\pi\text{ c}^{-1}.$$

Тогда

$$E=\frac{7{,}8\cdot 4\cdot (10\pi)^2\cdot 20^3}{6}\ \text{эрг}.$$

Вычислим:

$$E=\frac{7{,}8\cdot 4\cdot 100\pi^2\cdot 8000}{6}=4\,160\,000\pi^2\ \text{эрг}.$$

Так как $$1\text{ эрг}=10^{-7}\text{ Дж},$$ получаем

$$E=4{,}16\pi^2\cdot 10^{-1}\text{ Дж}\approx 4{,}1\text{ Дж}.$$

Ответ

$$E=4{,}16\pi^2\cdot 10^{-1}\text{ Дж}\approx 4{,}1\text{ Дж}.$$