Упр.378 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Разобьём шар на тонкие слои толщиной $$\Delta x=\frac{2R}{n}.$$

Выделим слой, находящийся на расстоянии $$x$$ от верхней точки шара. Тогда работа против силы выталкивания при погружении этого слоя на глубину $$x$$ равна

$$\Delta A=\rho g\,\Delta V\cdot x.$$

Пусть $$|OB|=a$$. Тогда

$$y^2=R^2-a^2=R^2-(x-R)^2.$$

Следовательно, объём слоя приближённо равен

$$\Delta V\approx \pi y^2\Delta x=\pi\bigl[R^2-(x-R)^2\bigr]\Delta x=\pi x(2R-x)\Delta x.$$

Тогда полная работа против силы выталкивания при погружении шара в воду:

$$A=\rho g\pi\int\limits_0^{2R}x(2R-x)\,dx =\rho g\pi\left[\frac{2Rx^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2R} =\rho g\pi\left[\frac{2R(2R)^2}{2}-\frac{(2R)^3}{3}\right].$$

Упростим:

$$A=\rho g\pi\left[4R^3-\frac{8R^3}{3}\right] =\rho g\pi\cdot\frac{4R^3}{3}.$$

Ответ: $$A=\frac{4}{3}\pi\rho gR^3.$$