Упр.376 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Выделим на расстоянии $$x$$ от верхнего основания плотины полоску толщиной $$\Delta x$$.

Сила давления воды на эту полоску равна

$$\Delta P=\rho gxy\,\Delta x,$$

где $$y$$ — ширина канала на глубине $$x$$.

Из подобия треугольников $$\triangle ABF$$ и $$\triangle NBM$$ получаем

$$\frac{a-b}{y-b}=\frac{h}{h-x}.$$

Отсюда

$$y=b+(a-b)\left(1-\frac{x}{h}\right).$$

Тогда полная сила давления воды:

$$P=\int\limits_0^h \rho g x\left(b+(a-b)\left(1-\frac{x}{h}\right)\right)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$P=\rho g\int\limits_0^h \left(ax-\frac{a-b}{h}x^2\right)\,dx$$

$$=\rho g\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{a-b}{h}\cdot\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{h}$$

$$=\rho g\left(\frac{ah^2}{2}-\frac{(a-b)h^2}{3}\right) =\frac{\rho gh^2(a+2b)}{6}.$$

Ответ: $$\frac{\rho gh^2(a+2b)}{6}$$.