Упр.372 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Пусть ось сечения проходит через центр шара, а расстояние от центра до плоскости сечения равно $$x.$$ Тогда радиус кругового сечения шара равен $$r=\sqrt{R^2-x^2},$$ поэтому площадь сечения

$$S(x)=\pi r^2=\pi(R^2-x^2).$$

Высота шарового сегмента равна $$H,$$ значит, при интегрировании нужно брать $$x\in[R-H,\;R].$$ Тогда

$$V=\int_{R-H}^{R} S(x)\,dx =\pi\int_{R-H}^{R}(R^2-x^2)\,dx.$$

Вычислим:

$$V=\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{R-H}^{R}$$

$$=\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}-\left(R^2(R-H)-\frac{(R-H)^3}{3}\right)\right)$$

$$=\pi\left(RH^2-\frac{H^3}{3}\right) =\frac{\pi H^2}{3}(3R-H).$$

Для усечённого конуса пусть расстояние от вершины до сечения равно $$x.$$ Тогда радиус сечения по подобию треугольников:

$$y=\frac{R}{H}(H-x).$$

Следовательно, площадь сечения

$$S(x)=\pi y^2=\pi\frac{R^2}{H^2}(H-x)^2.$$

Интегрируем по высоте усечённого конуса, то есть при $$x\in\left[0,\; \frac{H(R-r)}{R}\right].$$ Тогда