Упр.371 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Объём тела вращения вокруг оси абсцисс находим по формуле
$$V=\pi\int_a^b\bigl(y_2^2-y_1^2\bigr)\,dx.$$
а)
$$y=x^2,\quad y=x.$$
Точки пересечения: $$x^2=x \Rightarrow x(x-1)=0,$$ значит, $$x=0$$ и $$x=1.$$
Тогда
$$V=\pi\int_0^1\left(x^2-(x^2)^2\right)\,dx =\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,dx =\pi\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1 =\pi\left(\frac13-\frac15\right) =\frac{2\pi}{15}.$$
б)
$$y=2x,\quad y=x+3,\quad x=0,\quad x=1.$$
На отрезке $$[0,1]$$ верхняя функция $$y=x+3,$$ нижняя — $$y=2x.$$
Тогда
$$V=\pi\int_0^1\left((x+3)^2-(2x)^2\right)\,dx =\pi\int_0^1(x^2+6x+9-4x^2)\,dx =\pi\int_0^1(-3x^2+6x+9)\,dx.$$
$$V=\pi\left(-x^3+3x^2+9x\right)\Bigg|_0^1 =\pi(-1+3+9)=11\pi.$$
в)
$$y=x+2,\quad y=1,\quad x=0,\quad x=2.$$
На отрезке $$[0,2]$$ верхняя функция $$y=x+2,$$ нижняя — $$y=1.$$
Тогда
$$V=\pi\int_0^2\left((x+2)^2-1^2\right)\,dx =\pi\int_0^2(x^2+4x+3)\,dx.$$
$$V=\pi\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+3x\right)\Bigg|_0^2 =\pi\left(\frac83+8+6\right) =\frac{50\pi}{3}.$$
г)
$$y=\sqrt{x},\quad y=x.$$
Точки пересечения: $$\sqrt{x}=x \Rightarrow x=x^2 \Rightarrow x(x-1)=0,$$ значит, $$x=0$$ и $$x=1.$$
На отрезке $$[0,1]$$ верхняя функция $$y=\sqrt{x},$$ нижняя — $$y=x.$$
Тогда
$$V=\pi\int_0^1\left((\sqrt{x})^2-x^2\right)\,dx =\pi\int_0^1(x-x^2)\,dx =\pi\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =\pi\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{\pi}{6}.$$
Ответ
а) $$\frac{2\pi}{15}$$; б) $$11\pi$$; в) $$\frac{50\pi}{3}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.
