Упр.370 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Объём тела вращения вокруг оси абсцисс находим по формуле

$$V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx.$$

1. $$y=x^2+1,\quad x=0,\quad x=1,\quad y=0.$$

   Тогда

   $$V=\pi\int_0^1 (x^2+1)^2\,dx=\pi\int_0^1 (x^4+2x^2+1)\,dx.$$

   $$V=\pi\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\Bigg|_0^1 =\pi\left(\frac15+\frac23+1\right)=\pi\cdot\frac{28}{15}=\frac{28\pi}{15}.$$

2. $$y=\sqrt{x},\quad x=1,\quad x=4,\quad y=0.$$

   Тогда

   $$V=\pi\int_1^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_1^4 x\,dx.$$

   $$V=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_1^4=\pi\left(\frac{16}{2}-\frac12\right)=\frac{15\pi}{2}.$$

3. $$y=\sqrt{x},\quad x=1,\quad y=0.$$

   Здесь область ограничена графиком $$y=\sqrt{x}$$, осью абсцисс и прямой $$x=1$$, поэтому

   $$V=\pi\int_0^1 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^1 x\,dx.$$

   $$V=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_0^1=\frac{\pi}{2}.$$

4. $$y=1-x^2,\quad y=0.$$

   Точки пересечения с осью абсцисс:

   $$1-x^2=0,\quad x^2=1,\quad x=\pm1.$$

   Тогда

   $$V=\pi\int_{-1}^1 (1-x^2)^2\,dx=\pi\int_{-1}^1 (1-2x^2+x^4)\,dx.$$

   $$V=\pi\left(x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_{-1}^1 =\pi\left(\frac{8}{15}-\left(-\frac{8}{15}\right)\right)=\frac{16\pi}{15}.$$

Ответ: а) $$\frac{28\pi}{15}$$; б) $$\frac{15\pi}{2}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$\frac{16\pi}{15}$$.