Упр.37 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна $$14$$, а сумма средних — $$12$$.
Обозначим числа через $$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4.$$ Тогда по условию
$$a_1+a_4=14,\qquad a_2+a_3=12.$$
Ход решения
Так как первые три числа образуют геометрическую прогрессию, то
$$a_2^2=a_1a_3.$$
Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме крайних:
$$2a_3=a_2+a_4.$$
Из условия $$a_2+a_3=12$$ получаем
$$a_4=2a_3-a_2=2a_3-(12-a_3)=3a_3-12,$$
а тогда
$$a_1=14-a_4=14-(3a_3-12)=26-3a_3.$$
Подставим это в равенство для геометрической прогрессии:
$$a_2^2=a_1a_3.$$
Так как $$a_2=12-a_3,$$ имеем
$$(12-a_3)^2=(26-3a_3)a_3.$$
Раскроем скобки:
$$144-24a_3+a_3^2=26a_3-3a_3^2,$$
$$4a_3^2-50a_3+144=0,$$
$$2a_3^2-25a_3+72=0.$$
Найдём корни:
$$D=25^2-4\cdot 2\cdot 72=625-576=49,$$
$$a_3=\frac{25\pm 7}{4}.$$
Отсюда
$$a_3=8 \quad \text{или} \quad a_3=\frac{9}{2}.$$
1) Если $$a_3=8,$$ то
$$a_2=12-8=4,\qquad a_4=3\cdot 8-12=12,\qquad a_1=14-12=2.$$
2) Если $$a_3=\frac{9}{2},$$ то
$$a_2=12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2},\qquad a_4=3\cdot \frac{9}{2}-12=\frac{3}{2},\qquad a_1=14-\frac{3}{2}=\frac{25}{2}.$$
Ответ
$$2,\ 4,\ 8,\ 12$$ или $$\frac{25}{2},\ \frac{15}{2},\ \frac{9}{2},\ \frac{3}{2}.$$
