Упр.37 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$?+?+?=?$$, $$\frac{\sin(?)}{a}=\frac{\sin(?)}{b}=\frac{\sin(?)}{c}$$. Докажите, что $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(?)$$, причём $$?$$, $$?$$, $$?$$ необязательно положительные числа.

Пусть

$$\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}.$$

Тогда

$$b=\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}, \qquad c=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha}.$$

Кроме того,

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$

значит

$$\gamma=\pi-(\alpha+\beta), \qquad \sin \gamma=\sin(\alpha+\beta).$$

Докажем, что

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha.$$

Подставим выражения для $$b$$ и $$c$$:

$$a^2=\frac{a^2\sin^2\beta}{\sin^2\alpha}+\frac{a^2\sin^2\gamma}{\sin^2\alpha}-\frac{2a^2\sin\beta\sin\gamma}{\sin^2\alpha}\cos\alpha.$$

Умножим на $$\sin^2\alpha$$:

$$a^2\sin^2\alpha=a^2\sin^2\beta+a^2\sin^2\gamma-2a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha.$$

После деления на $$a^2$$ получаем

$$\sin^2\alpha=\sin^2\beta+\sin^2\gamma-2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha.$$

Так как $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$$, то $$\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)$$, и тогда

$$\sin^2\alpha=\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta)-2\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha.$$

Используем формулу

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Тогда левая и правая части после раскрытия сводятся к тождеству, а значит

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.$$

Это и требовалось доказать.