Упр.369 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$F(x)$$ и $$G(x)$$ — первообразные для функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$.

а)

Тогда

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \qquad \int_a^b g(x)\,dx=G(b)-G(a).$$

Следовательно,

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = (F(x)+G(x))\Big|_a^b = F(b)+G(b)-F(a)-G(a).$$

С другой стороны,

$$\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx = [F(b)-F(a)]+[G(b)-G(a)] = F(b)+G(b)-F(a)-G(a).$$

Значит,

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx.$$

б)

Пусть $$k$$ — постоянная, а $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$[a;b]$$. Тогда

$$\int_a^b kf(x)\,dx = [kF(x)]_a^b = k(F(b)-F(a)) = k\int_a^b f(x)\,dx.$$

Следовательно,

$$\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx.$$

Ответ

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx,$$

$$\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx.$$