Упр.368 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=8-0{,}5x^2$$ в точке с абсциссой $$x_0=-2$$.

Производная:

$$f'(x)=-x.$$

Тогда

$$f'(-2)=2,$$

$$f(-2)=8-0{,}5\cdot(-2)^2=8-2=6.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

то есть

$$y=2(x+2)+6=2x+10.$$

Искомая площадь равна

$$S=\int_{-2}^{1}\bigl((2x+10)-(8-0{,}5x^2)\bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$S=\int_{-2}^{1}\left(2x+2+0{,}5x^2\right)\,dx.$$

Тогда

$$S=\left(x^2+2x+\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{1}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(1^2+2\cdot1+\frac{1^3}{6}\right)-\left((-2)^2+2\cdot(-2)+\frac{(-2)^3}{6}\right),$$

$$S=\left(1+2+\frac16\right)-\left(4-4-\frac43\right)=3+\frac16+\frac43=\frac{27}{6}=\frac92.$$

Ответ

$$\frac92$$