Упр.367 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём вершину параболы $$y=8x-2x^2.$$

$$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2,$$

$$y_{\text{в}}=8\cdot 2-2\cdot 2^2=16-8=8.$$

Значит, точка касания касательной в вершине параболы имеет координаты $$A(2;8).$$

Найдём уравнение касательной. Производная функции:

$$y’=8-4x.$$

В точке $$x=2$$ имеем:

$$y'(2)=8-4\cdot 2=0,$$

то есть касательная горизонтальна. Следовательно, её уравнение:

$$y=8.$$

Искомая площадь равна площади прямоугольника с основанием $$2$$ и высотой $$8$$ минус площадь под графиком параболы на отрезке $$[0;2]$$:

$$S=2\cdot 8-\int\limits_0^2 (8x-2x^2)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$\int\limits_0^2 (8x-2x^2)\,dx=\left(4x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}.$$

Тогда

$$S=16-\frac{32}{3}=\frac{16}{3}.$$

Ответ

$$\frac{16}{3}$$