Упр.366 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения:

$$x^2-4x+4=4-x^2$$

$$2x^2-4x=0$$

$$2x(x-2)=0$$

$$x=0,\; x=2.$$

На отрезке $$[0;2]$$ верхняя кривая: $$y=4-x^2$$, нижняя: $$y=x^2-4x+4.$$ Тогда

$$S=\int_0^2 \bigl((4-x^2)-(x^2-4x+4)\bigr)\,dx =\int_0^2 (-2x^2+4x)\,dx$$

$$=\left(-\frac{2x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^2 =-\frac{16}{3}+8 =\frac{8}{3}.$$

б) Найдём точки пересечения:

$$x^2-2x+2=2+6x-x^2$$

$$2x^2-8x=0$$

$$2x(x-4)=0$$

$$x=0,\; x=4.$$

На отрезке $$[0;4]$$ верхняя кривая: $$y=2+6x-x^2$$, нижняя: $$y=x^2-2x+2.$$ Тогда

$$S=\int_0^4 \bigl((2+6x-x^2)-(x^2-2x+2)\bigr)\,dx =\int_0^4 (8x-2x^2)\,dx$$

$$=\left(4x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^4 =64-\frac{128}{3} =\frac{64}{3}.$$

в) Найдём точки пересечения:

$$x^2=2x-x^2$$

$$2x^2-2x=0$$

$$2x(x-1)=0$$

$$x=0,\; x=1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ верхняя кривая: $$y=2x-x^2$$, нижняя: $$y=x^2.$$ Тогда

$$S=\int_0^1 \bigl((2x-x^2)-x^2\bigr)\,dx =\int_0^1 (2x-2x^2)\,dx$$

$$=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.$$

г) Найдём точки пересечения:

$$x^2=x^3$$

$$x^2(1-x)=0$$

$$x=0,\; x=1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ верхняя кривая: $$y=x^2$$, нижняя: $$y=x^3.$$ Тогда

$$S=\int_0^1 (x^2-x^3)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^1 =\frac{1}{3}-\frac{1}{4} =\frac{1}{12}.$$

Ответ

а) $$\frac{8}{3}$$; б) $$\frac{64}{3}$$; в) $$\frac{1}{3}$$; г) $$\frac{1}{12}$$.