Упр.365 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения:

$$4x-x^2=4-x$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$x_1=1,\quad x_2=4.$$

На отрезке $$[1;4]$$ сверху расположена парабола $$y=4x-x^2$$, снизу — прямая $$y=4-x$$. Тогда

$$S=\int\limits_{1}^{4}\bigl((4x-x^2)-(4-x)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{4}(5x-x^2-4)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_{1}^{4}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$$

б) Найдём точку пересечения графиков:

$$\frac{16}{x^2}=2x$$

$$x^3=8,\quad x=2.$$

Искомая фигура состоит из треугольника с вершинами $$A(0,0),\,B(2,4),\,C(2,0)$$ и части под графиком $$y=\frac{16}{x^2}$$ на отрезке $$[2;4]$$:

$$S=\frac12\cdot 2\cdot 4+\int\limits_{2}^{4}\frac{16}{x^2}\,dx.$$

$$S=4+16\int\limits_{2}^{4}x^{-2}\,dx=4+16\left(-\frac1x\right)\Bigg|_{2}^{4}=4+16\left(\frac12-\frac14\right)=8.$$

в) Найдём точки пересечения:

$$x^2=2x$$

$$x(x-2)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=2.$$

Площадь фигуры равна площади треугольника под прямой $$y=2x$$ на отрезке $$[0;2]$$ минус площадь под параболой $$y=x^2$$:

$$S=\frac{2\cdot 4}{2}-\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx.$$

$$S=4-\frac{x^3}{3}\Bigg|_{0}^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.$$

г) Найдём точки пересечения:

$$6-2x=6+x-x^2$$

$$x^2-3x=0$$

$$x(x-3)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=3.$$

На отрезке $$[0;3]$$ сверху расположена парабола $$y=6+x-x^2$$, снизу — прямая $$y=6-2x$$. Тогда

$$S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((6+x-x^2)-(6-2x)\bigr)\,dx=\int\limits_{0}^{3}(3x-x^2)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}=\frac{9}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$8$$; в) $$\frac{4}{3}$$; г) $$\frac{9}{2}$$.