Упр.364 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$S=\int_{1}^{2} \bigl(8-x^3\bigr)\,dx= \left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Big|_{1}^{2}= \left(16-4\right)-\left(8-\frac14\right)=\frac{17}{4}.$$

б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]$$ верхняя кривая — $$y=2\cos x$$, нижняя — $$y=1$$, поэтому

$$S=\int_{-\pi/3}^{\pi/3} (2\cos x-1)\,dx=\left(2\sin x-x\right)\Big|_{-\pi/3}^{\pi/3}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}.$$

в) Точка пересечения параболы $$y=x^2-2x+4$$ с прямой $$y=3$$:

$$x^2-2x+4=3,\quad x^2-2x+1=0,\quad (x-1)^2=0,\quad x=1.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=\int_{-1}^{1} (x^2-2x+4)\,dx-2\cdot 3=\left(\frac{x^3}{3}-x^2+4x\right)\Big|_{-1}^{1}-6=\frac{8}{3}.$$

г) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$$ верхняя кривая — $$y=\sin x$$, нижняя — $$y=\frac12$$, поэтому

$$S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\sin x-\frac12\right)\,dx=\left(-\cos x-\frac{x}{2}\right)\Big|_{\pi/6}^{5\pi/6}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: а) $$\frac{17}{4}$$; б) $$2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$.