Упр.363 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\int_0^{\frac{2\pi}{3}}\left(\sin\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{4}\right)^2\,dx$$
Преобразуем подынтегральное выражение:
$$\left(\sin\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{4}\right)^2=\sin^2\frac{x}{4}+2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}=1+\sin\frac{x}{2}.$$
Тогда
$$\int_0^{\frac{2\pi}{3}}\left(\sin\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{4}\right)^2\,dx=\int_0^{\frac{2\pi}{3}}\left(1+\sin\frac{x}{2}\right)\,dx.$$
Найдём первообразную:
$$\int\left(1+\sin\frac{x}{2}\right)\,dx=x-2\cos\frac{x}{2}.$$
Следовательно,
$$\int_0^{\frac{2\pi}{3}}\left(\sin\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{4}\right)^2\,dx=\left(x-2\cos\frac{x}{2}\right)\Bigg|_0^{\frac{2\pi}{3}}=\frac{2\pi}{3}-2\cos\frac{\pi}{3}+2\cos 0=\frac{2\pi}{3}+1.$$
б) $$\int_0^2(1+2x)^3\,dx$$
$$\int(1+2x)^3\,dx=\frac{(1+2x)^4}{8}.$$
Тогда
$$\int_0^2(1+2x)^3\,dx=\frac{(1+2\cdot 2)^4}{8}-\frac{(1+2\cdot 0)^4}{8}=\frac{625-1}{8}=78.$$
в) $$\int_0^{\frac{\pi}{12}}(1+\cos 2x)\,dx$$
$$\int(1+\cos 2x)\,dx=x+\frac12\sin 2x.$$
Следовательно,
$$\int_0^{\frac{\pi}{12}}(1+\cos 2x)\,dx=\left(x+\frac12\sin 2x\right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{12}}=\frac{\pi}{12}+\frac12\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}+\frac14.$$
г) $$\int_1^4\left(x+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)\,dx=\int_1^4\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx$$
$$\int\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx=\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}.$$
Тогда
$$\int_1^4\left(x+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}\right)\Bigg|_1^4=\left(\frac{16}{2}+2\cdot 2\right)-\left(\frac12+2\right)=8+\frac72=\frac{23}{2}.$$
Ответ
а) $$\frac{2\pi}{3}+1$$; б) $$78$$; в) $$\frac{\pi}{12}+\frac14$$; г) $$\frac{23}{2}$$.
