Упр.360 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Так как функция $$y=x^4$$ чётная, то искомая площадь вдвое больше площади под графиком на отрезке $$[0;1]$$:

$$S=2\int_0^1 x^4\,dx=2\left(\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.$$

б) Площадь фигуры между графиками $$y=x^4$$ и $$y=1$$ равна площади прямоугольника со сторонами $$2$$ и $$1$$ минус площадь под графиком $$y=x^4$$ на отрезке $$[-1;1]$$:

$$S=2-\int_{-1}^{1}x^4\,dx.$$

Так как функция чётная,

$$\int_{-1}^{1}x^4\,dx=2\int_0^1 x^4\,dx=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.$$

Тогда

$$S=2-\frac{2}{5}=\frac{8}{5}.$$

в) Искомая площадь:

$$S=\int_0^4 (x^2-4x+5)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+5x\right)\Bigg|_0^4 =\left(\frac{64}{3}-32+20\right)-0 =\frac{64}{3}-12 =\frac{28}{3}.$$

г) Площадь фигуры между графиком $$y=x^2-4x+5$$ и прямой $$y=5$$:

$$S=\int_0^4 \bigl(5-(x^2-4x+5)\bigr)\,dx=\int_0^4 (4x-x^2)\,dx.$$

Тогда

$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^4 =32-\frac{64}{3} =\frac{32}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{5}$$; б) $$\frac{8}{5}$$; в) $$\frac{28}{3}$$; г) $$\frac{32}{3}$$.