Упр.36 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- З6. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $$\frac{1}{3}$$, четвёртый её член равен $$\frac{1}{54}$$, а сумма всех членов — $$\frac{121}{162}$$. Сколько членов в этой прогрессии?
Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель $$q=\frac13$$.
По формуле $$b_4=b_1q^3$$ найдём первый член:
$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac1{54}}{\left(\frac13\right)^3}=\frac{\frac1{54}}{\frac1{27}}=\frac12.$$
Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$
Подставим известные значения:
$$\frac{121}{162}=\frac{\frac12\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)}{1-\frac13}.$$
Так как $$1-\frac13=\frac23$$, получаем:
$$\frac{121}{162}=\frac{\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right)}{\frac23}=\frac34\left(1-\frac1{3^n}\right).$$
Умножим обе части на $$\frac43$$:
$$1-\frac1{3^n}=\frac{121}{162}\cdot\frac43=\frac{242}{243}.$$
Тогда
$$\frac1{3^n}=1-\frac{242}{243}=\frac1{243}.$$
Следовательно,
$$3^n=243=3^5,$$
значит, $$n=5$$.
Ответ: 5.
