Упр.36 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Проверьте, что число $$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$ является корнем уравнения $$\arctg(x)=\frac{?}{12}$$.

$$\arctg x=\frac{\pi}{12}, \qquad x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$$

Найдём значение $$\tg \frac{\pi}{12}$$:

$$\tg \frac{\pi}{12}=\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{1+\cos \frac{\pi}{6}}=\frac{\frac12}{1+\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2+\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{1}{2+\sqrt3}=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=2-\sqrt3.$$

Теперь преобразуем $$x_0$$:

$$x_0=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{3-2\sqrt3+1}{3-1}=2-\sqrt3.$$

Следовательно,

$$x_0=\tg \frac{\pi}{12},$$

значит, число $$x_0$$ является корнем уравнения $$\arctg x=\frac{\pi}{12}.$$

Ответ: $$x_0$$ — корень уравнения.