Упр.359 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а)

$$\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x\Big|_0^{\pi/4}=\tg\frac{\pi}{4}-\tg 0=1-0=1$$
$$\int_0^1 dx=x\Big|_0^1=1-0=1$$
Следовательно,
$$\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\int_0^1 dx.$$

б)

$$\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\pi/3}=-\cos\frac{\pi}{3}+\cos 0=-\frac12+1=\frac12$$
$$\int_{1/16}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\Big|_{1/16}^{1/4}=2\sqrt{\frac14}-2\sqrt{\frac1{16}}=2\cdot\frac12-2\cdot\frac14=\frac12$$
Следовательно,
$$\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx=\int_{1/16}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x}}.$$

в)

$$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1$$
$$\int_0^{\sqrt[3]{3}}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^{\sqrt[3]{3}}=\frac{(\sqrt[3]{3})^3}{3}-\frac{0^3}{3}=1$$
Следовательно,
$$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\int_0^{\sqrt[3]{3}}x^2\,dx.$$

г)

$$\int_0^1(2x+1)\,dx=(x^2+x)\Big|_0^1=(1^2+1)-(0^2+0)=2$$
$$\int_0^2(x^3-1)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}-x\right)\Big|_0^2=\left(\frac{2^4}{4}-2\right)-\left(\frac{0^4}{4}-0\right)=4-2=2$$
Следовательно,
$$\int_0^1(2x+1)\,dx=\int_0^2(x^3-1)\,dx.$$