Упр.358 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{(2x+1)^2}$$

Найдём первообразную:

$$\int (2x+1)^{-2}\,dx=-\frac{1}{2(2x+1)}+C.$$

Тогда

$$\int_{1}^{2}\frac{dx}{(2x+1)^2}=\left.-\frac{1}{2(2x+1)}\right|_{1}^{2}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}=\frac{1}{15}.$$

б) $$\int_{0}^{\pi}3\cos\frac{x}{2}\,dx$$

Первообразная:

$$\int 3\cos\frac{x}{2}\,dx=6\sin\frac{x}{2}+C.$$

Следовательно,

$$\int_{0}^{\pi}3\cos\frac{x}{2}\,dx=\left.6\sin\frac{x}{2}\right|_{0}^{\pi}=6\sin\frac{\pi}{2}-6\sin 0=6.$$

в) $$\int_{1}^{10}\frac{dx}{x^2}$$

Так как $$\frac{1}{x^2}=x^{-2},$$ то

$$\int x^{-2}\,dx=-\frac{1}{x}+C.$$

Тогда

$$\int_{1}^{10}\frac{dx}{x^2}=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{10}=-\frac{1}{10}+1=\frac{9}{10}.$$

г) $$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx$$

Первообразная:

$$\int \sin 2x\,dx=-\frac{\cos 2x}{2}+C.$$

Следовательно,

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx=\left.-\frac{\cos 2x}{2}\right|_{\pi/4}^{\pi/2}=-\frac{\cos \pi}{2}+\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{15}$$; б) $$6$$; в) $$\frac{9}{10}$$; г) $$\frac{1}{2}$$.