Упр.357 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^4$$: $$F(x)=\frac{x^5}{5}.$$

По формуле Ньютона–Лейбница:

$$\int_{-1}^{2} x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^{2}=\frac{2^5}{5}-\frac{(-1)^5}{5}=\frac{32}{5}+\frac{1}{5}=\frac{33}{5}=6\frac{3}{5}.$$

б) Найдём первообразную для функции $$f(x)=\cos x$$: $$F(x)=\sin x.$$

По формуле Ньютона–Лейбница:

$$\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1.$$

в) Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^3$$: $$F(x)=\frac{x^4}{4}.$$

По формуле Ньютона–Лейбница:

$$\int_{1}^{3} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{3}=\frac{3^4}{4}-\frac{1^4}{4}=\frac{81}{4}-\frac{1}{4}=\frac{80}{4}=20.$$

г) Найдём первообразную для функции $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$$: $$F(x)=\tg x.$$

По формуле Ньютона–Лейбница:

$$\int_{0}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\left.\tg x\right|_{0}^{\pi/4}=\tg\frac{\pi}{4}-\tg 0=1-0=1.$$

Ответ

а) $$\frac{33}{5}$$; б) $$1$$; в) $$20$$; г) $$1$$.